Аналіз моделей управління запасами досі стосувався ситуацій, коли попит відомий заздалегідь і постійний протягом усього періоду планування. Ослабимо тепер це припущення і розглянемо моделі, де попит детермінований, але змінюється з часом. Це можливо, наприклад, якщо замовлення зроблені заздалегідь, або підписані контракти, що визначають поставки на кілька наступних місяців, або попит розраховано відповідно до відомої виробничої програми.

У цьому випадку горизонт планування визначається як період, в якому попит відомий. Розглядається тільки кінцевий горизонт планування, проте це не є серйозним обмеженням, так як попит у віддаленому майбутньому зазвичай не робить істотного впливу на рішення, що приймаються в сьогоденні. Крім того, у багатьох випадках запаси схильні до зносу, і тому не має сенсу припускати, що продукція буде зберігатися в запасі нескінченно і вибирати відрізок планування надмірно великим.

Як і раніше, можна вважати, що є деяка система постачання (склад, оптова база та інше), діяльність якої зводиться до забезпечення попиту кінцевих споживачів на деякий продукт, для чого вона здійснює замовлення виробнику даного продукту.

Розглянемо моделі, в яких потрібно спланувати послідовність замовлень на T суміжних інтервалів часу. Попит задається як послідовність величин сумарного споживання в цих періодах.

Передбачається, що не допускаються заборгованості та відмови (відсутній дефіцит). Замовлення виконується повністю і часом між замовленням і його надходженням можна знехтувати.

Попит протягом етапу t (t=1, ..., T) відомий і позначається d_t>0.

При розміщенні замовлення в y одиниць у період t нараховуються фіксовані витрати замовлення K_t і змінні (вартість замовлення або виробництва) c_t(y). Нехай δ(y)=0, якщо y>1 та δ (0)=0. Тоді витрати замовлення в періоді t дорівнюють K_tδ(y)+c_t(y).

Початковий запас і запас у кінці періоду Т передбачається відомим.

Витрати зберігання одиниці товару на етапі t – h_t>0.

Замовлення і попит визначаються на початку етапу. Запаси інспектуються наприкінці етапу. Тому витрати на зберігання на етапі t передбачаються пропорційними обсягу запасу, що переходить з етапу t в етап t + 1.

Нехай y_t - кількість, що замовляється у період t, і І_t  ‑ рівень запасів у кінці періоду t. З використанням цих змінних завдання визначення обсягів замовлень, таких, щоб витрати замовлення і зберігання були мінімальні, може бути сформульована таким чином:

                                   (3.1)

                                    (3.2)

                                          (3.3)

Обмеження (3.2) називають обмеженнями балансу запасу. Оскільки , змінні I_t можуть бути виключені з формулювання і планом завдання можна вважати вектор (y₁, ..., y_T ).

Функції c_t(y) слід враховувати, якщо витрати змінюються з часом або існують розриви цін.

У загальному випадку (3.1) - (3.3) являє собою задачу нелінійного програмування. Якщо враховуються фіксовані витрати замовлення K_t, цільова функція завдання розривна. Крім того, якщо змінні I_t, y_t можуть приймати тільки цілі значення, то отримаємо задачу цілочисельного програмування.

Якщо цільова функція отриманого завдання адитивна, то для її вирішення може бути успішно застосований апарат динамічного програмування [4], в основі якого лежить твердження, що отримало назву принципу оптимальності Беллмана:

Для адитивної цільової функції рішення на всі інтервали, що залишилися, повинні становити оптимальну поведінку відносно стану, отриманого в результаті попереднього рішення, незалежно від раніше прийнятих рішень і початкового стану.

Нехай кожен інтервал часу t відповідає одному кроку. Розглянемо процедуру прямої прогонки, послідовно мінімізуючи витрати за 1, 2, ... T інтервали.

На кроці t стан системи визначається як обсяг запасу на кінець етапу, що задається співвідношенням (3.2), причому

.

Це нерівність означає, що в граничному випадку (при відсутності в подальшому замовлень) запас I_t може задовольнити попит на всіх наступних етапах.

В якості початкової умови використовуємо вимогу про збереження після завершення управління заданої кількості товару IT.

Нехай C_t(I_t, y_t) - загальні витрати на етапах 1, 2, ..., t при заданій величині I_t на кінець етапу t і величиною замовлення y_t,  – мінімальні загальні витрати на етапах 1,2, ..., t при заданій величині запасу I_t в кінці періоду t. На кожному етапі замовлення розміщуються в припущенні, що попередні замовлення розміщені оптимально. Тоді

,

пряме рекурентне співвідношення записується у вигляді

         (3.4)

Бо I1 = I0+ y1-d1, то y1=I1+I0+d1 та

.

Система рекурентних співвідношень (3.4) дозволяє знайти послідовність функцій стану  і умовних оптимальних управлінь yˆt(I). На кроці Т за допомогою початкової умови можна визначити . Решта значень оптимальних управлінь визначаються послідовно з використанням формули (3.2).

Припущення про нульовий час доставки може бути ослаблене, якщо припустити, що час поставки L визначено і відомо заздалегідь. В цьому випадку, якщо замовлення потрібно в період t, то замовлення робиться в період t-L.

Приклад 3.1. Вирішимо задачу при наступних даних.

Таблиця 3.1

Дані для прикладу 3.1

Вихідний запас I₀=1, в кінці періоду планування I₃=0. Нехай витрати на придбання продукції становлять 10 за кожну одиницю для перших трьох одиниць і 20 для кожної додатковою одиниці, тобто

Припускаємо, що замовляється ціле число одиниць товару. Наведемо результати покрокових обчислень для прямого алгоритму.

Крок 1. Так як y1 = I1 + d1 > 0 ,

Оскільки I₁ може приймати тільки цілі значення, I1 ≤d 2 + d3=6.

Таблиця 3.2

Перший крок алгоритму

Крок 2.

I₂≤d₃=4, 0≤ y2≤I2 +d2= I2+2.

Для різних значень I₂ і y₂ обчислюємо значення функції, яку мінімізуємо. Наприклад, .

Результати запишемо в таблицю і знайдемо мінімальний елемент в кожному рядку.

Таблиця 3.3

Другий крок алгоритму

Крок 3. I3 = 0 , 0 ≤ y3 ≤ I3 + d3 = 4 ,

Обчислимо витрати для різних y₃. Наприклад,

Таблиця 3.4

Третій крок алгоритму

Звідси отримуємо, що загальні мінімальні витрати - 99, y₃=3, I₂= I₃+ d₃- y₃=1, y₂= 3, I₁= I₂+ d₂-y₂= 0, y₁=2.

Розглянемо процедуру зворотного прогону для вирішення поставленого завдання. В якості опції стану керованої системи візьмемо мінімальний обсяг витрат, що виникають за періоди t, ..., T за умови, що до початку періоду t (до розміщення замовлення) є запас I_t-1.

Нехай Ct (I t -1 , yt ) - загальні витрати на етапах t, ..., T при заданій величині I_t-1 на початок етапу t і величиною замовлення y_t,   - мінімальні загальні витрати на етапах t, ..., T при заданій величині I_t-1. На кожному етапі замовлення розміщуються в припущенні, що замовлення на наступних етапах розміщені оптимально. Покладемо . Тоді

,

основне рекурентне співвідношення записується у вигляді