Содержание
Часть I. Обыкновенные дифференциальные
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
п.1. Понятие дифференциального уравнения.
Математические модели, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями. 3
1.pdf
п.2. Постановка задачи с начальными данными
(задача Коши). Понятие корректной постановки
задачи. Лемма Гронуолла–Беллмана. 7
п.3. Теорема единственности решения задачи Коши
для уравнения I-порядка, разрешенного
относительно производной. 9
п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. 10
2.pdf
п.5. Дифференциальное уравнение I-порядка,
неразрешенное относительно производной.
Теорема существования и единственности решения. 13
5.pdf
п.6 Особые решения уравнения I-го порядка,
неразрешенного относительно производной. 15
6.pdf
п.7. Общий интеграл уравнения I-го порядка.
Интегральный множитель. 18
7.pdf
п.8. Нормальные системы DУ. Теорема существования
и единственности решения задачи Коши для
нормальной системы и уравнения n-го порядка. 22
8.pdf
п.9. Непрерывность решений дифференциальных
уравнений по начальным данным и параметрам.
Регулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Понятие о сингулярном возмущении. 25
9.pdf
п.10. Линейное дифференциальное уравнение n-го
порядка и его свойства. Сведение к нормальной
системе первого порядка. Существование решения. 28
10.pdf
п.11. Линейное дифференциальное уравнение
2-го порядка. Понижение порядка уравнения.
Уравнение Риккати. 30
11.pdf
п.12. Общая теория однородных линейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. 32
12.pdf
п.13. Фундаментальная система решений и общее
решение для линейной системы дифференциальных
уравнений. 34
п.14. Решение неоднородной системы
дифференциальных уравнений. 35
п. 15. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с
постоянными коэффициентами в случае некратных
корней характеристического уравнения. 36
п.16. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений при
кратных корнях характеристического уравнения. 37
13.pdf
п.17. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Исследование уравнения 2-го порядка. Формула Остроградского-Лиувилля. 38
17.pdf
п.18. Основные понятия теории устойчивости.
Устойчивость решения линейной системы. 42
18.pdf
п.19. Исследование устойчивости решения системы
по первому приближению. 45
19.pdf
п.20. Исследование траектории в окрестности точки
покоя. 47
20.pdf
Часть II. Краевые задачи и вариационное
исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
п.21. Постановка краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Формула Лагранжа. 51
21.pdf
п.22. Формула Грина. Построение решения краевой
задачи с помощью функции Грина. 53
п.23. Существование функции Грина. Постановка
краевой задачи при существовании решения
однородной задачи. 55
п.24. Обобщенная функция Грина и представление
решения с ее помощью. 58
22.pdf
п.25. Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства. 61
25.pdf
п.26. Редукция задачи Штурма-Лиувилля к
интегральному уравнению. 63
26.pdf
п.27. Решение неоднородного интегрального уравнения
с симметричным ядром. Теорема Стеклова. 65
27.pdf
п.28. Поведение решения задачи Штурма-Лиувилля
при x = 0, если p(x = 0) = 0. 68
28.pdf
п.29. Уравнение Бесселя. Построение решения в
виде степенных рядов. 71
29.pdf
п.30. Собственные функции краевой задачи
для уравнения Бесселя. 73
30.pdf
п.31 Линейные уравнения в частных производных
первого порядка. 74
31.pdf
п.32. Постановка обратных задач для дифференциального уравнения второго порядка. Неустойчивость задачи определения правой части уравнения. 79
32.pdf
п.33. Понятие функционала и вариации.
Постановка вариационной задачи.
Необходимые условия экстремума. 83
33.pdf
п.34. Основная лемма вариационного исчисления.
Уравнения Эйлера. 85
34.pdf
п.35. Функционалы, содержащие производные порядка
выше первого и зависящие от нескольких функций.
Необходимые условия экстремума. 87
35.pdf
п.36. Многомерные вариационные задачи.
Уравнение Эйлера-Остроградского. 88
36.pdf
п.37. Вариационные задачи на условный экстремум.
Метод неопределенных множителей Лагранжа. 90
37.pdf